APLICACIONES DE LA DERIVADA. OPTIMIZACIÓN
01 - En un campo de deportes de 36 m de ancho la
portería mide 4 m. ¿Desde qué punto de la banda se ve la portería con el
máximo ángulo?
Solución
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02 - Las manecillas de un reloj miden 4 y 6
cm y uniendo sus extremos se forma un triángulo. Determinar el instante
entre las 12:00 y las 12:30 en que el área del triángulo es máxima.
Solución
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03 - Se quiere construir una caja
rectangular de base cuadrada sin tapa en la parte superior, con 108 cm2
de material. ¿Qué dimensiones ha de tener la caja para conseguir que el
volumen sea máximo?
Solución
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04 - Un producto tiene un coste de
producción de 0,80 €. Se sabe que al precio de 0,90 € se venden 3000
unidades y que si se sube y baja un céntimo se venden 60 unidades menos y
más respectivamente. Calcular a qué precio se debe vender para obtener el
máximo beneficio.
Solución
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05 - Dos calles de anchura 8 y 27 metros
respectivamente forman un ángulo recto. Hallar la longitud máxima de una
viga que pueda pasar, girando sobre la esquina de ambas calles, y estando
siempre en un plano horizontal.
Solución
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06 - Con dos trozos de un cable de 8 m de
longitud se forma un cuadrado y un círculo. ¿Cómo debemos cortar el cable
para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima?
Solución
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07 - Un ciclista ha de ir del punto A al punto B. Va a una velocidad de 400 m/min cuando circula por la carretera y de 200 m/min cuando va por el campo. Determinar la trayectoria para que el tiempo invertido en el recorrido se mínimo.
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08 - De todos los triángulos rectángulos de
10 cm de hipotenusa, hallar las medidas del que tenga el máximo perímetro.
Solución
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09 - El coste de producción de un
determinado artículo en función de las unidades fabricadas, x, se adapta a
la función 
.Se
define coste medio por unidad como 
Calcular el número de unidades x que hay que fabricar para hacer mínimo el
coste medio por unidad.
Solución
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10 -Determinar las dimensiones de una
ventana rectangular de área máxima. Sabiendo que la madera a utilizar en
los laterales vale 12 €/m y 9 €/m para los otros lados y además el coste
total tiene que ser 125 €.
Solución
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11 -Un triángulo isósceles mide de base 12
cm y altura 10 cm. Halla el rectángulo de área máxima que se puede
inscribir en el triángulo de forma que uno de los lados del rectángulo se
superponga a la base del triángulo.
Solución
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12 - Halla las dimensiones del rectángulo
de área máxima que se puede inscribir en la elipse 
Solución
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13 - Un granero con una base cuadrada, sin
cubierta, debe tener 2048m3 de volumen. Determinar las
dimensiones que requieren un mínimo de superficie (despreciando el grosor
del material y la pérdida en la construcción). Determinar el área mínima
total del granero.
Solución
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14 - En un rectángulo de 4 m de perímetro
se sustituyen dos lados opuestos por semicircunferencias exteriores. ¿Cuál
debe ser el radio de éstas para que el área de figura resultante sea
máxima y cuál para que sea mínima? ¿Cuánto valen dichas áreas extremas?
Solución
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15 - Diseño de de un campo formado por un
rectángulo con dos semicírculos en sus extremos, el área del rectángulo es
5000 m2 y el campo debe estar rodeada por una barda.
Dimensiones del patio de modo que la longitud de la barda sea mínima.
Solución
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16 - Hallar un numero que exceda a su
cubo en la mayor cantidad.
Solución
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17 - La suma de dos números positivos es
48. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de sus cuadrados?
Solución
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18 - Una caja rectangular tiene una base cuadrada con
lados de al menos una pulgada de largo. No tiene tapa y el area total de
sus 5 lados es 300 pulgadas cuadradas ¿Cuál es el volumen máximo de dicha
caja?
Solución
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19 - Las coordenadas iniciales de de los móviles A y B
son (0, 0) y (250, 0), respectivamente, y 1 km es la distancia desde el
origen de coordenadas hasta cada uno de los puntos (1, 0) y (0, 1). El
móvil A se desplaza sobre el eje OY desde la posición inicial hasta el
punto (0, 375/2) con una velocidad de 30 km/h y, simultáneamente, el móvil
B se desplaza por el eje OX desde su posición inicial hasta el origen de
coordenadas con una velocidad de 40 km/h.
Obtenga razonadamente:
a) La distancia f(t) entre los móviles A y B durante el desplazamiento en
función del tiempo t.
b) El tiempo T que tardan los móviles en desplazarse desde su posición
inicial hasta su posición final, y los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento de la función f a lo largo del trayecto.
c) Los valores de t para los cuales la distancia de los móviles es máxima
y mínima durante el desplazamiento, y estas distancias máxima y mínima.
Solución
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20 - Se quiere construir una caja sin tapa
de volumen 10m3. La base mide el doble de largo que de ancho. El coste del
material de la base es de 10 euros por metro cuadrado, y el de las paredes
laterales de 6 euros por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones hacen el coste
minimo? ¿Cuál es este coste?
Solución
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21 - Una piedra preciosa pesa 12 kg si
sabemos que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de
su peso y que esta piedra vale 144 000 euros, calcula, cuando partimos
esta piedra en dos trozos, cual es el valor de cada trozo cuando la
depreciación es máxima.
Solución
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22 - Encuentre dos números no negativos
cuya suma sea 30, de tal modo que la suma de sus cuadrados sea máxima.
Solución
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23 - Calcula las dimensiones de una
caja de base cuadrada sin tapa construida a partir de una superficie
cuadrada de 40 x 40 cm que tenga un volumen máximo.
Solución
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24 - Dos calles de anchura 8 metros
forman un ángulo recto. Hallar la longitud máxima de un tablón recto que
pueda pasar, girando sobre la esquina de ambas calles, y estando siempre
en un plano horizontal.
Solución
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Determina el valor del área del mayor rectángulo que se puede inscribir en el recinto formado por la parábola y2 = 2px y la recta x = 2a