y 
Solución
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
01 - Los puntos P(1, -1, 1) y Q(3, -3, 3) son los
vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano
perpendicular al plano de ecuación x + y = 0.
a) Halla los vértices restantes.
b) Calcula el perímetro del cuadrado.
Solución
________________________________________
02 - Calcula el punto Q simétrico del P(1,2,3) respecto
del plano x - 3y -2z + 4 = 0.
Solución
________________________________________
03 - Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,0,-7) y corta a las rectas
y
Solución
__________________________________________
04 - Halla los puntos de la recta
que disten 1/3 del plano 
.
Solución
_________________________________________
05 - Dado el plano Ax + By + Cz = D,
demostrar que el vector (A, B, C) es normal al plano.
Solución
___________________________________________
06 - Estudiar la posición relativa de las rectas r1 y r2
 |
 |
_____________________________________________
07 - Calcular la mínima distancia entre las rectas r y s, siendo:
 |
|
 |
________________________________________________
08 - Deducir la ecuación de los infinitos
planos que contienen a una recta dada (haz de planos). Dada la recta r:
{ x -2 = 0; 2x - y + 3z + 1 = 0, escribir la ecuación del haz de planos
que la contiene y calcular el pano del haz que pasa por el punto A(4, 0,
3).
Solución
_________________________________________________
09 - Determinar el punto de la recta 
que
equidista de los planos 
y 
Solución
_________________________________________________
10 - Calcular el punto A' simétrico de
A(1, -3, 7) respecto a la recta 
Solución
__________________________________________________
11 - Explicar un método para calcular la
distancia de un punto a una recta y aplicarlo para hallar la distancia
desde el punto A(1, 2, 3) a la recta r: { x + z = 0; x - z = 0
Solución
__________________________________________________
12 -Hallar la ecuación de una recta que
pasa por el punto P(2,1,-1), esté contenida en el plano π : x + 2y + 3z
= 1 y es perpendicular a la recta r {x-2z+3=0; y-z-4 =0
Solución
___________________________________________________
13 - Dados los vectores 
y 
. Calcular un vector perpendicular a 
y que sea coplanario con y 
, ¿Es única la solución?
Solución
_____________________________________________________
14 - Calcular el valor de n para que los
cuatro puntos A(1, 2, 0), B(0, 3, -1), C(1, 0, 1) y D(-1, 2, n)
pertenezcan al mismo plano. Hallar la ecuación del plano.
Solución
______________________________________________________
15 -Hallar la ecuación de la
perpendicular común a las rectas r: x = y = z y s: x = y = 3z - 1
Solución
_______________________________________________________
16 - Hallar la distancia entre la recta r
que pasa por A(0.1 ,1.1, 0.8) y B(1.3, 0.2, 0.75) y la recta s que pasa
por C(0.2, 0.7, 0.5) y D(1.17, 0.7, 0.25)
Solución
____________________________________________________
17 - Hallar la ecuación de la recta que
corta perpendicularmente a las rectas r definida por los puntos A(1,1,1)
y B(1,2,-3) y s que pasa por C(5,2,1) y D(0,0,0)
Solución
__________________________________________________
18 - Distancia entre las rectas
_____________________________________________________
19 - Hallar las ecuaciones de los planos
que pasan por los puntos P1 (0, 4, 2) y P2 (8, 0,
1) y forman ángulos de 45º con el plano 2x - y + 2z - 7 = 0
Solución
_____________________________________________________
20 - Calcula los puntos R1 y R2
que pertenecen al plano π: x - y - 2z + 3 = 0 y que formen con P(4, 2,
1) y Q(3, 3, 1) dos triángulos equiláteros.
Solución
______________________________________________________
21 - Siendo L la recta que contiene a A =
(1, -2, 3) y B = (-1, 2, 0) encuentre el punto de L que es más cercano
al origen y su distancia.
Solución
________________________________________________________
22 - Determina la posición relativa de las rectas r y s
__________________________________________________________
23 - Determina la posición relativa de los tres planos en los siguientes casos:
a)  |
b) |
c)  |
d)  |
____________________________________________________________
24 - Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L1 y es paralela a la recta L2
; 
______________________________________________________________
25 - Halle la ecuación del plano que
contiene los puntos A(0, 0, 1) y B(1, 0, 0) y es tal que el ángulo θ que
forma con el plano x + y + z = 0 es θ = π/3.
Solución
_________________________________________________________________
26 - Calcula la distancia del punto P(3,
4, 5) a la recta 
Solución
___________________________________________________________________
27 - Deducir la fórmula para calcular la
distancia de un punto a un plano y emplearla para obtener la distancia
entre rectas que se cruzan.
Solución
_____________________________________________________________________
28 - Halla la ecuación paramétrica de la
recta que es proyección de la recta 
sobre el plano 
Solución
_____________________________________________________________________
29 - Dado el punto Q(6, 3, 2) y la
recta: r: (1, –1, 4) + t (0, –1, 1), determinar las rectas que pasan por
Q y cortan a r formando un ángulo de 60º.
Solución
_____________________________________________________________________
30 - Determinar para que valores de a y
b los planos 2x-y+3z-1=0, x+2y-z+b=0 y x+ay-6z+10=0:
a) Tienen un punto en común
b) Pasan por una recta
c) Se cortan en tres rectas paralelas distintas.
Solución
_____________________________________________________________________
31 - Sea la superficie esférica de
ecuación X2 + Y2 + Z2 - 6X - 6Y - 8Z
+ 9 = 0, Se pide:
a) Su centro y su radio.
b) La ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje OY
c) Centro y radio de la circunferencia que resulta de cortar a la esfera
con el plano Z = 0
d) Ecuación del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX
Solución
________________________________________________________________________
32 - Halla la ecuación del plano que pasa
por el punto A(3,1,2) y forma ángulos iguales con el eje X, con el eje
Y, y con la recta L: X = 1 + t; Y = 4 + t; Z = 2 + t
Solución
_________________________________________________________________________
33 - Halla la ecuación de la esfera que
es tangente a dos planos paralelos 6x - 3y - 2z -35 = 0 y 6x - 3y - 2z +
63 = 0 siendo el punto P(5, -1, -1) el punto de contacto de uno de ellos
a la esfera.
Solución
__________________________________________________________________________
34 - Calcula la ecuación de la recta
perpendicular a 
que pase por A(2,0,2) y corte a 
Solución
____________________________________________________________________________
35 - Dada la ecuación de la recta r definida como intersección de dos planos, obtener las otras fórmulas para expresar la ecuación de una recta en el espacio
_____________________________________________________________________________
36 - Halla la ecuación del plano que pasa
por los puntos A(1,3,0) y B(4,0,0) y forma un ángulo de 30º con el plano
x + y + z -1 = 0
Solución
______________________________________________________________________________
37 - Encuentre una ecuación de la
esfera que es tangente a los planos x + y + z = 3 y x + y + z = 9 si los
planos 2x - y = 0 y 3x - z = 0 pasan por el centro de la esfera.
Solución
________________________________________________________________________________
38
- Halle la ecuación del plano tangente a la esfera 𝑥2
+ 𝑦2 + 𝑧2 = 1 que contenga a los puntos 𝑃(1,
−1, √2) y 𝑄(−1,1, √2).
Solución
39 - Hallar un punto del eje oy
equidistante de los planos 2x + 2y + z = 0 y 4x -3y = 2
Solución
________________________________________________________________________________
40 - Determina un punto del eje ox
que equidiste de los planos 3x - y + 2z - 6 = 0 y 3x - y + 2z -13 = 0
Solución
__________________________________________________________________________________
42 - Halla la ecuación de la recta
que pasa por el punto M(3, -2, 4) paralelamente al plano 3x - 2y - 3z -
7 = 0 y que corta a la recta L1: 
_____________________________________________________________________________________
43 - Hallar la ecuación del plano
perpendicular al plano z = 2, que contenga al punto P(1, -3, 4) y forme
un ángulo de 60º con el plano 
Solución
_____________________________________________________________________________________
44 - ¿Cuál es el vector normal al plano x =
-1? Escribe las ecuaciones de la recta perpendicular a ese plano que
pase por el punto (2, 3, 0)
Solución
_____________________________________________________________________________________
45 - Hallar la ecuación del plano
perpendicular a al plano z = 2, que contenga al punto (2, 2, 2) y forme
un ángulo de 60º con el plano √3x+2y-3z+2
= 0.
Solución
_______________________________________________________________________________________
Hallar la ecuación de la esfera que pasa por el punto (−1, 6, −3) y es tangente al plano π : 4x + 4y + 7z − 96 = 0 en el punto (7, 3, 8).
Solución