GEOMETRÍA DEL ESPACIO

 

01 - Los puntos P(1, -1, 1) y Q(3, -3, 3) son los vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0.
a) Halla los vértices restantes.
b) Calcula el perímetro del cuadrado.
Solución

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02 - Calcula el punto Q simétrico del P(1,2,3) respecto del plano x - 3y -2z + 4 = 0.
Solución

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03 - Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-2,0,-7) y corta a las rectas

y
Solución

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04 - Halla los puntos de la recta que disten 1/3 del plano .
Solución

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05 - Dado el plano Ax + By + Cz = D, demostrar que el vector (A, B, C) es normal al plano.
Solución

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06 - Estudiar la posición relativa de las rectas r1 y r2

 

Solución

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07 - Calcular la mínima distancia entre las rectas r y s, siendo:

Solución

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08 - Deducir la ecuación de los infinitos planos que contienen a una recta dada (haz de planos). Dada la recta r: { x -2 = 0; 2x - y + 3z + 1 = 0, escribir la ecuación del haz de planos que la contiene y calcular el pano del haz que pasa por el punto A(4, 0, 3).
Solución

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09 - Determinar el punto de la recta que equidista de los planos y
Solución

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10 - Calcular el punto A' simétrico de A(1, -3, 7) respecto a la recta
Solución

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11 - Explicar un método para calcular la distancia de un punto a una recta y aplicarlo para hallar la distancia desde el punto A(1, 2, 3) a la recta r: { x + z = 0; x - z = 0
Solución

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12 -Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2,1,-1), esté contenida en el plano π : x + 2y + 3z = 1 y es perpendicular a la recta r {x-2z+3=0; y-z-4 =0
Solución

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13 - Dados los vectores y . Calcular un vector perpendicular a y que sea coplanario con y , ¿Es única la solución?
Solución

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14 - Calcular el valor de n para que los cuatro puntos A(1, 2, 0), B(0, 3, -1), C(1, 0, 1) y D(-1, 2, n) pertenezcan al mismo plano. Hallar la ecuación del plano.
Solución

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15 -Hallar la ecuación de la perpendicular común a las rectas r: x = y = z y s: x = y = 3z - 1
Solución

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16 - Hallar la distancia entre la recta r que pasa por A(0.1 ,1.1, 0.8) y B(1.3, 0.2, 0.75) y la recta s que pasa por C(0.2, 0.7, 0.5) y D(1.17, 0.7, 0.25)
Solución

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17 - Hallar la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas r definida por los puntos A(1,1,1) y B(1,2,-3) y s que pasa por C(5,2,1) y D(0,0,0)
Solución

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18 - Distancia entre las rectas

Solución

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19 - Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por los puntos P1 (0, 4, 2) y P2 (8, 0, 1) y forman ángulos de 45º con el plano 2x - y + 2z - 7 = 0
Solución

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20 - Calcula los puntos R1 y R2 que pertenecen al plano π: x - y - 2z + 3 = 0 y que formen con P(4, 2, 1) y Q(3, 3, 1) dos triángulos equiláteros.
Solución

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21 - Siendo L la recta que contiene a A = (1, -2, 3) y B = (-1, 2, 0) encuentre el punto de L que es más cercano al origen y su distancia.
Solución

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22 - Determina la posición relativa de las rectas r y s


Solución

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23 - Determina la posición relativa de los tres planos en los siguientes casos:

a) b) c) d)

Solución

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24 - Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L1 y es paralela a la recta L2

;

Solución

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25 - Halle la ecuación del plano que contiene los puntos A(0, 0, 1) y B(1, 0, 0) y es tal que el ángulo θ que forma con el plano x + y + z = 0 es θ = π/3.
Solución

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26 - Calcula la distancia del punto P(3, 4, 5) a la recta
Solución

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27 - Deducir la fórmula para calcular la distancia de un punto a un plano y emplearla para obtener la distancia entre rectas que se cruzan.
Solución

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28 - Halla la ecuación paramétrica de la recta que es proyección de la recta sobre el plano
Solución

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29 - Dado el punto Q(6, 3, 2) y la recta: r: (1, –1, 4) + t (0, –1, 1), determinar las rectas que pasan por Q y cortan a r formando un ángulo de 60º.
Solución

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30 - Determinar para que valores de a y b los planos 2x-y+3z-1=0, x+2y-z+b=0 y x+ay-6z+10=0:
a) Tienen un punto en común
b) Pasan por una recta
c) Se cortan en tres rectas paralelas distintas.
Solución

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31 - Sea la superficie esférica de ecuación X2 + Y2 + Z2 - 6X - 6Y - 8Z + 9 = 0, Se pide:
a) Su centro y su radio.
b) La ecuación de la recta que contiene al diámetro paralelo al eje OY
c) Centro y radio de la circunferencia que resulta de cortar a la esfera con el plano Z = 0
d) Ecuación del plano tangente a la esfera en su punto del eje OX
Solución

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32 - Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(3,1,2) y forma ángulos iguales con el eje X, con el eje Y, y con la recta L: X = 1 + t; Y = 4 + t; Z = 2 + t
Solución

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Halla la ecuación de la esfera que es tangente a dos planos paralelos 6x - 3y - 2z -35 = 0 y 6x - 3y - 2z + 63 = 0 siendo el punto P(5, -1, -1) el punto de contacto de uno de ellos a la esfera.