FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
01 - Calcular la derivada direccional de
la función 
en el punto 
según la dirección del vector 
.
Solución
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02 - Calcular la derivada direccional de
la función 
en el punto 
según la dirección del vector 
.
Solución
___________________________________________
03 - Calcular, si existe, el siguiente
límite 
Solución
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04 - Calcular, si existe, el siguiente
límite 
Solución
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05 - Hallar las tres derivadas parciales respecto de x, de y y de z de la función siguiente
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06 - La temperatura en el punto (x, y) de una placa viene dada por:
Calcular la dirección de mayor crecimiento desde el punto
(3, 4) y la razón de crecimiento desde el mismo punto.
Solución
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07 - Método para obtener las derivadas
parciales de funciones implícitas de varias variables. Aplicación a X2
+ 2XY + Z2 = 1
Solución
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08 - Hallar la ecuación del plano
tangente a la superficie 
en el punto 
Solución
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09 - Hallar los
puntos críticos y los extremos relativos de la función 
Solución
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10 -Hallar las dimensiones de un paquete
rectangular de volumen máximo con la condición de que la suma de su
longitud más el perímetro de su sección no supere 108 cm
Solución
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11 - Calcular la derivada direccional
máxima de la función t = g (x, y, z) en (0, 0, 0) definida
implícitamente por x ey + y ez + z et +
t ex = 1
Solución
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12 - Calcular el plano tangente a la
superficie 
en el punto 
Solución
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13 - Definición de jacobiano. Cálculo de
la matriz y el determinante jacobiano del cambio de coordenadas
cartesianas a polares.
Solución
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14 - Interpretación geométrica de las
derivadas parciales de una función de dos variables
Solución
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15 - Una caja rectangular sin tapa ha de
tener un volumen de 32 u3 ¿Qué dimensiones son las que hacen
que su área total sea mínima?
Solución
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16 - Usar la diferencial dz para
aproximar la variación en 
cuando (x, y) va desde el punto (1, 1) a (1.01, 0.97) y
compararla con la variación real de z
Solución
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17 - Definición de diferencial de una
función de varias variables y condiciones de diferenciabilidad
Solución
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18 - Calcular el límite siguiente 
Solución
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19 - Determine los puntos de la
superfície z2 = xy + 1 que están mas próximos al origen.
Solución
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20 - Calcular las derivada parcial con respecto a x y con respecto a y de la siguiente función
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21 - Deducir la fórmula para hallar el
plano tangente a la superficie F(x, y, z) = 0 en el punto P(x0,
y0, z0). Como aplicación hallar la ecuación del
plano tangente al hiperboloide z2 - 2x2 - 2y2
- 12 = 0
en el punto P(1, -1, 4) .
Solución
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22 - 
Solución
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23 - Estudia la diferenciabilidad de la
función f(x,y) en el punto (0,0) 
Solución
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24 - Sea la función diferenciable 
, demuestre que: 
Solución
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25 - Minimizar el costo de una caja de
cartón sin tapa con base rectangular, con capacidad de 6400 cm3,
considerar que el costo de la base es de 75 €/cm2 y 25 €/cm2
los laterales.
Solución
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26 - Deducir cómo calcular un vector
normal a una superficie en paramétricas y como aplicación hallar la
ecuación del plano tangente a la superficie dada por 
en el punto P(1, 2, -5).
Solución
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27 - Halla el dominio de la función f(x,y) e identifica tres curvas de nivel
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28 - Se tiene la función w = f(x,y) donde x = r cos θ , y = r sen θ , demuestre que se cumple
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29 - El cambio de variables x = uv; y = 1/2(u2 - v2) transforma f(x,y) en g(u,v), si el cuadrado del valor máximo de la derivada direccional de f(x,y) es 2 para todo x, y, determinar las constantes a y b, tales que:
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30 - Dado el campo escalar z 3 - xz - y = 0, demuestra que satisface la siguiente igualdad:
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31 - Determina el dominio y la gráfica
de la función 
Solución
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32 - Dada la curva en el espacio 
demostrar que la curva es plana y que la
curvatura es la misma en todos sus puntos.
Solución
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33 - Calcular "a" para que el campo A =
(axy - z3) i + (a - 2)x2 j + (1 - a)xz2
k sea conservativo y hallar la función potencial de la que deriva.
Solución
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34 - Comprobar el teorema de Stokes con
el campo vectorial 
y la superficie del paraboloide X2 +Y2
= Z limitada por el plano Z = 1
Solución
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35 - Hallar la curvatura y la torsión en
una curva definida por x = 2t, y = t2, z = -1/3t3
Solución
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36 - Utilizando el teorema de Stokes
encuentre la circulación del campo F = (x2
- y)i + 4zj + x2k alrededor
de la curva en C en la que el plano z = 2 corta al cono z2 =
x2 + y2, en sentido anti horario, visto desde
arriba.?
Solución
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37 - Sea el campo vectorial 
y sea S la mitad superior de la esfera 
.
Hallar la integral de superficie 
, donde N es la normal exterior de S
Solución
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38 - Sean a, b y c constantes reales.
Determine la relación entre los coeficientes para garantizar que la
función Φ(x, y) = ax2 + bxy + cy2 sea armónica.
Solución
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39 - Calcula los siguientes límites funcionales
a)  Solución |
b)  Solución |
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40 - Aplicando el criterio de la función mayorante, estudiar los siguientes límites
a)  |
b)  |
c)  |
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41 - Halla el plano tangente a la
superficie x3y2 + xz3 + yxz = 3 en el
punto P(1, 1, 1).
Solución
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42 - Si f(x,y) = xy,
a) Determine el vector gradiente en el punto (3,2)
b) Determine la curva de nivel para f(x,y) = 6
c) Obtenga la recta tangente en el punto del inciso a)
d) Calcule la derivada en la dirección que va desde el punto (3,2) al
punto (5,0)
e) Graficar los puntos anteriores.
Solución
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43 - Hallar la ecuación de la recta
tangente a la curva de intersección del elipsoide x2 + 4y2
+ 2z2 = 27 y el hiperboloide x2 + y2
- 2z2 = 11
Solución
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44 - Hallar la ecuación cartesiana
del plano tangente a la superficie xyz = a3 en cualquiera
de sus puntos.
Solución
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45 - Encontrar un vector unitario
normal a la superficie del campo escalar Ø = x2 + 3xy + 2z
en el origen(0, 0, 0)
Solución
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46 - Estudia si existe el siguiente límite
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47 - Calcula las derivadas cruzadas de la siguiente función
